LATIHAN SOAL KUANTOR - INDUKSI MATEMATIKA PERTEMUAN 3

Latihan Pertemuan 3
∀∃∧∨→
1. Tentukan validitas pernyataan di bawah ini bila domain pembicaraan nya himpunan bilangan real.
 A.
     a. ∀x, ∀y, P(x²<y+1)
Jawaban: y≧1; x≤2, Maka semua bilangan real dalam himpunan X bersifat salah dan semua bilanga real dalam bilangan Y bersifat benar. sehingga, pilihan pertama dinyatakan tidak sesuai.
     b. ∀x, ∃y, P(x²<y+1)
Jawaban: y≧1; x≤2, Maka semua bilangan real dalam himpunan X bersifat salah dan beberapa bilangan real dalam himpunan Y bersifat benar. sehingga, pilihan ke-dua dinyatakan tidak sesuai.
     c. ∃x, ∀y, P(x²<y+1)
Jawaban: y≧1; x≤2, Maka beberapa bilangan real dalam himpunan X bersifat benar dan semua bilangan real dalam himpunan Y bersifat benar. sehingga, pilihan ke-tiga dinyatakan Sesuai
     d. ∃x, ∃y, P(x²<y+1)
Jawaban: y≧1; x≤2, Maka semua bilangan real dalam himpunan X bersifat benar dan semua bilanga real dalam bilangan Y bersifat salah. sehingga, pilihan ke-empat dinyatakan tidak sesuai.

B.

      a. ∀x, ∀y, P[(x<y)→(x²<y²)]
Jawaban: semua bilangan real dalam himpunan X dan himpunan Y merupakan bilangan real. Jika himpunan X kurang dari himpunan Y, maka himpunan x² kurang dari y².
      b. ∀x,∃y, P[(x<y)→(x²<y²)]
Jawaban:  semua bilangan X adalah bilangan real dan beberapa himpunan Y adalah bilangan real. jika anggota himpunan X kurang dari himpunan Y, maka himpunan x² kurang dari y².
      c. ∃x, ∀y, P[(x<y)→(x²<y²)]
Jawaban:  beberapa anggota himpunan X adalah bilangan real dan semua anggota himpunan Y adalah bilangan real. jika anggota himpunan X kurang dari himpunan Y, maka himpunan x² kurang dari y².
      d. ∃x, ∃y, P[(x<y)→(x²<y²)]
Jawaban:  beberapa anggota himpunan X adalah bilangan real dan beberapa anggota himpunan Y adalah bilangan real. jika anggota himpunan X kurang dari himpunan Y, maka himpunan x² kurang

2. Negasikan setiap pernyataan dibawah ini:

      a.  ∀x, P(x) ∧ ∃y, Q(y)
Jawaban:  ∃x, ~P(x) ∨ ∀y, ~Q(y)
      b.  ∃x, P(x)∨ ∀y, Q(y)
Jawaban: ∀x, ~P(x)∧ ∃y, ~Q(y)
      c.  ∀x, ∃y, [P(x) ∨ Q(y)]
Jawaban: ∃x, ∀y, [~P(x) ∧ ~Q(y)]

3. Buktikan dengan induksi matematika
   1. Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n².
Jawaban: basis induksi: P(1) benar, karena satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1² = 1.
langkah induksi: misalkan P(n) benar, yaitu asumsikan bahwa 1+3+5+...+(2n-1)=n² adalah benar atau hipotesis induksi maka catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke n adalah (2n-1). kita harus memperlihatkan bahwa P(n+1) juga benar yaitu, 1+3+5+...+(2n-1)=n² hal ini dapat kita tunjukan sebagai berikut.
1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)=1+3=n²+(2n+1)
                                                  =n²+2n+1
                                                  = (n+1)²
2. untuk semua n≥1, buktikan dengan induksi matematik bahwa n³+2n adalah kelipatan tiga.
Jawaban: basis insuksi: p(1) benar, karena untuk n=1, 1³+2(1)= 3 adalah kelipatan tiga
langkah induksi: misalkan p(n)benar, yaitu proposisi atau n³+2n adalah kelipatan tiga dapat diasumsikan benar atau hipotesis induksi. kita harus memperhatikan bahwa p(n+1) juga benar yaitu, (n+1)³ + 2(n+1) adalah kelipatan 3. hal ini dapat kita tunjukan sebagai berikut:
(n+1)³+2(n+1)=(n³+3n³+3n+1)+(2n+2)
                       =(n³+2n)+3n²+3n+3
                       =(n³+2n)=3(n²+n+1)

3. 1,2+2,3+3,4+...+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
Jawaban:
untuk n=1
1,2+2,3+...+n(n+1) = (n(n+1)(n+2)/3
1(1+1)= (1(1+1)(1+2))/3
1(2)= (1(2)(3))/3
2=2
terbukti benar,
untuk n=k
1,2+2,3+...+k(k+1)=(k(k+1)(k+2))/3

uji untuk n= k+1
1,2+2,3+...+n(n+1)= (n(n+1)(n+2))/3
1,2+2,3+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)=((k+1)(k+1)+1)(k+1+2))/3
1,2+2,3+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)=((k+1)(k+2)(k+3)))/3
(k(k+1)(k+2))/3+(k+1)(k+2)=((k+1)(k+2)(k+3)))/3
(k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)
(k+3)(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)
terbukti benar.